考研分母裂項(xiàng)拆分萬能公式(分母多項(xiàng)式拆分法則)

數(shù)學(xué)中的某些理論好像都是一個(gè)個(gè)散落的珍珠，能否把它們統(tǒng)一在一起，這正是我感興趣的。

把一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和，至少有如下兩個(gè)不同的形式：

1、分母裂項(xiàng)拆分基本公式之一：1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

2、分母裂項(xiàng)拆分基本公式之二：1/n= (n k1 k2 k3 … kn)/[n(n k1 k2 k3 … kn)]------（2）

（其中k1、k2、k3、…kn都是n的因數(shù)之一）

（以上基本數(shù)理來自于網(wǎng)絡(luò)）

思考的起點(diǎn)圖

許多的問題總會接連不斷地浮現(xiàn)，總希望能找出思考的頭緒：

1、它們的根源從何而來？

2、如何用最通俗的語言來描述？

3、每種數(shù)理包括哪些基本知識？

如何放在一個(gè)數(shù)理框架下進(jìn)行討論呢？

先看以下幾個(gè)基本知識的概念：

（1） 單位分?jǐn)?shù)定義：我們把分子是1、分母是自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù)，記成1/n。

（2） 真分?jǐn)?shù)：分子和分母都是正整數(shù)，分子小于分母的分?jǐn)?shù)，它們都大于0而小于1。大于0而小于1的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。

（3） 假分?jǐn)?shù)：分子和分母都是正整數(shù)，分子等于分母或分子大于分母的分?jǐn)?shù)，它們等于1或大于1，等于1或大于1的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù)。

（從單位分?jǐn)?shù)概念中分析得出“1/1=1”是假分?jǐn)?shù)，在真分?jǐn)?shù)中1/2是最大的單位分?jǐn)?shù)，所以下面的單位分?jǐn)?shù)中分母都從2開始，只討論真分?jǐn)?shù)形式。）

（4） 分?jǐn)?shù)基本運(yùn)算方法（或法則）之一：分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變。

通過對上面的分?jǐn)?shù)基本運(yùn)算方法（或法則）進(jìn)行分析，基本表達(dá)式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數(shù)）)---------(3)

（即：分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變。）

接下來對(3)式進(jìn)行變形：

1、設(shè)m=n k, k∈N(自然數(shù)）其(3)式基本形式變化如下：

1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------（4）

1）設(shè)k=1時(shí)，（4）式就變成了如下形式：

1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

這就是開頭的分母裂項(xiàng)拆分的基本公式之一。

所以（1）式就是從（3）式中演繹出來的特例：

（備注：演繹推理是由一般到特殊的推理方法。）

演繹推理：從一般表達(dá)式“1/n = m/(mn)”開始，先是對m分類（或限定），當(dāng)滿足“m=n k”條件時(shí)，再對k分類（或限定），當(dāng)滿足“k=1”這個(gè)條件時(shí)就成立了。

因此m=n 1只是“1/n = m/(mn)”表達(dá)式中，m取值的一個(gè)特例。

為什么要將m變成“m=n 1”呢？如何用最通俗的語言來描述？

再看下面幾個(gè)基本知識的概念：

1、 因數(shù)（或約數(shù)）與倍數(shù)定義：設(shè)a,b是整數(shù)，b≠0。如果有一個(gè)整數(shù)C,它便得a＝bc,則a叫做b的倍數(shù)， b叫做a的因數(shù)。

單位分?jǐn)?shù)的表達(dá)基本形式其分子只能是1.因此分子不為1時(shí)，則分子必定是分母的約數(shù)。

這就是對因數(shù)（或約數(shù)）知識點(diǎn)的運(yùn)用。

例如因數(shù)（或約數(shù)）概念中：c/a=c/bc=1/b. （b≠0，c≠0）那么“1/b”就是單位分?jǐn)?shù)的表達(dá)基本形式。

2、 素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）與合數(shù)：質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱為合數(shù)。（規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）。

通過對上面素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）與合數(shù)的概念分析，我們知道對于任何自然數(shù)“1”和“它自身”都是這個(gè)自然數(shù)的約數(shù)。

因此對于任何自然數(shù)都有如下表達(dá)方式：

n=n*1（任何數(shù)乘以1都等于這個(gè)數(shù)本身）

m=n 1 則m剛好等于“n=n*1”中“n的兩個(gè)因數(shù)（或約數(shù)）n與1”的和。

思考結(jié)論：單位分?jǐn)?shù)拆分與這個(gè)數(shù)本身的因數(shù)（或約數(shù)）有關(guān)。n與1都是n的因數(shù)（或約數(shù)）。它們從素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）與合數(shù)的概念中得來。

當(dāng)m=n 1時(shí)：

1/n = (n 1)/[n(n 1)]=1/(n 1) 1/[n(n 1)]-------（1）

對（1）式舉例說明。

例如：

1/7=（1 7）/[7*（7 1）]

=(7 1)/(7*8)

=1/8 1/56 (對（1）式運(yùn)用一次,便將“單位分?jǐn)?shù)1/7拆分成2個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”)

=9/(8*9) 1/56

=(8 1)/(8*9) 1/56

=1/9 1/72 1/56

(再次對（1）式運(yùn)用,便將“分?jǐn)?shù)單位分?jǐn)?shù)1/7拆分成3個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”。

或者將1/56 拆分“ =1/8 1/ (56 1)/[56*(56 1)]=1/8 1/57 1/3192” )

……

由此可見：用這種拆了又拆，不斷遞進(jìn)的拆分方法，可以將任何一個(gè)單位分?jǐn)?shù)拆分成N個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和。

即然m=n 1只是一種特例,有沒有其它的特例呢?

顯然合數(shù)的因數(shù)（或約數(shù)）就不只有”1”與”它本身’，因此就會產(chǎn)生新的拆分方式。

先看算術(shù)基本定理：

算術(shù)基本定理定義

從算術(shù)基本定理定義中可以看出，就是講合數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

例如:

10=2*5，2、5兩個(gè)數(shù)都是素?cái)?shù)。符合N 的標(biāo)準(zhǔn)分解式。

10=1*10，這種形式就“m=n 1”的形式，即滿足表達(dá)式（1）

因此k至少可以選擇：1、2、5、10

由于“分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變?！?/span>

其基本數(shù)理如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數(shù)）)---------(3)

當(dāng)m=n k時(shí)

1/n = (n k)/[n(n k)] =1/(n k) k/[n(n k)]-------（4）

k取n的某個(gè)因數(shù)（或約數(shù)），如下：

1、 當(dāng)n=10，k=1時(shí),

1/10=（10 1）/(10*11)=1/11 1/110

2、 當(dāng)n=10，k=2時(shí)

1/10=（10 2）/(10*12)=1/12 1/60

3、 當(dāng)n=10，k=5時(shí)

1/10=（10 5）/(10*15)=1/15 1/30

4、 當(dāng)n=10，k=10時(shí)（特殊情況）

1/10=（10 10）/(10*20)=1/20 1/20

（這里便是兩個(gè)分母一樣，是常見的“一分為二”）

上面的是m=n k，m是n的基礎(chǔ)上再加某個(gè)數(shù)k，k為n的某個(gè)因數(shù)（或約數(shù)）。

下面再看k的另一種情況：

m=k，(這里的K不是一個(gè)數(shù)，而是與n有關(guān)的兩個(gè)因數(shù)的和)

1、 當(dāng)k=1 2,

1/10=（1 2）/(10*3)=1/30 1/15

2、 當(dāng)k=1 5

1/10=（1 5）/(10*6)=1/60 1/12

3、 當(dāng)K=2 5

1/10=（2 5）/(10*7)=1/35 1/14

以上便是“單位分?jǐn)?shù)1/10拆分成2個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”的幾種情況。（僅供參考）

對于K的拓展就可以知道：

m=k, (這里K不是一個(gè)數(shù)，而是與n有關(guān)的3個(gè)因數(shù)的和。)

1、 當(dāng)k=1 2 5,

1/10=（1 2 5）/(10*8)=1/80 1/40 1/16

2、 當(dāng)k=1 2 10

1/10=（1 2 10）/(10*13)=1/130 1/65 1/13

3、 當(dāng)K=1 5 10

1/10=（1 5 10）/(10*16)=1/160 1/32 1/16

4、 當(dāng)K=2 5 10

1/10=（2 5 10）/(10*17)=1/170 1/34 1/17

以上便是“單位分?jǐn)?shù)1/10拆分成3個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和”的幾種情況。（僅供參考）

當(dāng)K是n有關(guān)的4個(gè)因數(shù)的和時(shí)，顯然有：

當(dāng)K=1 2 5 10

1/10=（1 2 5 10）/(10*18)=1/180 1/90 1/36 1/18

思考結(jié)論總結(jié)：單位分?jǐn)?shù)拆分與這個(gè)數(shù)本身的因數(shù)（或約數(shù)）有關(guān)。只與的k取值有關(guān)，k是n的兩個(gè)因數(shù)或多個(gè)因數(shù)之和。

基本數(shù)理是：

分?jǐn)?shù)計(jì)算法則之一：分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變。

基本表達(dá)式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數(shù)）)---------(3)

(其中m=k,k是n的兩個(gè)或多個(gè)因數(shù)（或約數(shù)）的和)

除了上面的這種方法以外,還有一種對m倍增的方法。（個(gè)人愛好，僅做思考拓展。）

基本數(shù)理是：

分?jǐn)?shù)計(jì)算法則之一：分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變。

具體表達(dá)式如下：

1/n = m/(mn) （m＞0 m,n∈N(自然數(shù)）)---------(3)

m=ki, (第一個(gè)K1 =K， K2=2^(2-1)* K, K3= 2^(3-1)*K…ki=2^(i-1)*k,其中k是n的兩個(gè)或多個(gè)因數(shù)（或約數(shù)）的和)

例如：

當(dāng)n=7,k=1 7=8

1、 當(dāng)K1=k=1 7=8時(shí),（這里K1=k）

1/7=(1 7)/(7*8)=1/8 1/56

2、 當(dāng)K2=2^(2-1)*K=2* （1 7）=16時(shí),（可以理解為K2是K1的2倍，是K的2倍）

1/7=(1 7 8)/(7*16)=1/112 1/16 1/14

3、 當(dāng)K3=2^(3-1)*K=2^2*（1 7）=32時(shí),（可以理解為K3是K2的2倍，是K的4倍）

1/7=(1 7 8 16)/(7*32)=1/224 1/32 1/28 1/14

4、 當(dāng)K4=2^(4-1)*K=2^2*（1 7）=64時(shí),（可以理解為K4是K3的2倍，是K的8倍）

1/7=(1 7 8 16 32)/(7*64)=1/448 1/64 1/56 1/28 1/14

……

先看完全數(shù)定義：它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和（即因子函數(shù)），恰好等于它本身。如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的真因子之和，則稱該數(shù)為“完全數(shù)”。 例如：第一個(gè)完全數(shù)是6，它有約數(shù)1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個(gè)數(shù)相加，1 2 3=6。

用這種方法,對于單位分?jǐn)?shù)中分母為“完全數(shù)”有如下拆分：

當(dāng)n =6,k=1 2 3

1、 當(dāng)K1=k=1 2 3=6時(shí)

1/6=(1 2 3)/(6*6)=1/36 1/18 1/12

2、 當(dāng)K2=2^(2-1)*K=2* （1 2 3）=1 2 3 6=12時(shí)（其中K2是K1的2倍）

1/6=(1 2 3 6)/(6*12)=1/72 1/36 1/24 1/12

3、 當(dāng)K3=2^(3-1)*K=2^2*(1 2 3)= 1 2 3 6 12=24時(shí)（其中K3是K2的2倍）

1/6=(1 2 3 6 12)/(6*24)=1/144 1/72 1/48 1/24 1/12

4、 當(dāng)K4=2^(4-1)*K=2^3* (1 2 3)= (1 2 3 6 12 24)=48時(shí)（其中K4是K3的2倍）

1/6=(1 2 3 6 12 24)/(6*48)=1/288 1/144 1/96 1/48 1/24 1/12

......

總結(jié)如下:

單位分?jǐn)?shù)拆分演繹圖

如有不當(dāng)之處，敬請斧正！

題外話：

將分?jǐn)?shù)拆分成幾個(gè)單位分?jǐn)?shù)之和的作用是什么？

仁者見仁，智者見智，每個(gè)人的理解可能都不一樣。

例如有一個(gè)題：把7個(gè)面包分給8個(gè)人，解答的形式是7/8=1/2 1/4 1/8.從式子中可以看出，應(yīng)該把面包切成這樣的幾份：把4個(gè)面包每個(gè)切成兩份，2只面包都切成四份，一只面包切成8份。（摘抄于<數(shù)學(xué)簡史>第25頁）

本文中包括以下數(shù)學(xué)知識點(diǎn)：

1、 分?jǐn)?shù)分為三類：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)

1） 真分?jǐn)?shù)：分子和分母都是正整數(shù)，分子小于分母的分?jǐn)?shù)，它們都大于0而小于1。大于0而小于1的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。

2） 假分?jǐn)?shù)：分子和分母都是正整數(shù)，分子等于分母或分子大于分母的分?jǐn)?shù)，它們等于1或大于1，等于1或大于1的分?jǐn)?shù)叫作假分?jǐn)?shù)。

3） 帶分?jǐn)?shù)：整數(shù)后面帶有分?jǐn)?shù)叫做帶分?jǐn)?shù)。(可以當(dāng)是假分?jǐn)?shù)的另一種形式。)

2、 單位分?jǐn)?shù)定義：我們把分子是1、分母是自然數(shù)的分?jǐn)?shù)叫單位分?jǐn)?shù)，記成1/n。

3、 分母裂項(xiàng)拆分基本公式之一：1/[n(n 1)]=(1/n)- [1/(n 1)]。

4、 分?jǐn)?shù)計(jì)算法則之一：分子分母同乘（或除以）一個(gè)不為0的數(shù)，其分?jǐn)?shù)值不變。

5、 算術(shù)基本定理可表述為：任何一個(gè)大于1的自然數(shù) N,如果N不為質(zhì)數(shù)，那么N可以唯一分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積N=P1^a1P2^a2P3^a3......Pn^an，這里P1

6、 素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）與合數(shù)：質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)。一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)；否則稱為合數(shù)。（規(guī)定1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）。

7、 因數(shù)（或約數(shù)）與倍數(shù)定義：設(shè)a,b是整數(shù)，b≠0。如果有一個(gè)整數(shù)C,它便得a＝b C,則a叫做b的倍數(shù)， b叫做a的因數(shù)。

8、 完全數(shù)定義：“完全數(shù)（Perfect number），又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)。它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和（即因子函數(shù)），恰好等于它本身。如果一個(gè)數(shù)恰好等于它的真因子之和，則稱該數(shù)為“完全數(shù)”。 例如：第一個(gè)完全數(shù)是6，它有約數(shù)1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個(gè)數(shù)相加，1 2 3=6。第二個(gè)完全數(shù)是28，它有約數(shù)1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5個(gè)數(shù)相加，1 2 4 7 14=28。第三個(gè)完全數(shù)是496，有約數(shù)1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9個(gè)數(shù)相加，1 2 4 8 16 31 62 124 248=496。后面的完全數(shù)還有8128、33550336等等。