有理數(shù)的定義是什么意思(有理數(shù)是什么意思)
來源:好上學(xué) ??時間:2022-09-03
有理數(shù)的概念 數(shù)學(xué)是科學(xué)之王。 ——高斯 模塊一 正數(shù)和負(fù)數(shù) 模塊二 有理數(shù)的概念及分類 模塊三 數(shù)軸 模塊四 相反數(shù)&倒數(shù) 模塊五 絕對值第一講 1 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 一、正數(shù)和負(fù)數(shù) 在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上,從發(fā)現(xiàn)自然數(shù)開始,隨著人類文明進(jìn)步,我們又逐漸定義了分?jǐn)?shù)和小數(shù)等.在生活和學(xué)習(xí)中,我們會需要記錄一些具有相反意義的量,比如:零下4?C和零上6?C,收入20元和支出30元,向東30米和向西100米等等.這些數(shù)據(jù)不僅意義相反,而且表示一定的量,為了表示它們,我們定義了正負(fù)數(shù): 1.用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量: 我們把一種意義的量規(guī)定為正的,把另一種與它具有相反意義的量規(guī)定為負(fù)的,分別用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示,給數(shù)字前面加上正號表示正數(shù),加上負(fù)號表示負(fù)數(shù). 【例】以上幾個例子分別記為:4??C和6??C,20?元和20?元,30?米和100?米. 2.正數(shù):像30、 6、12、?這樣的數(shù)叫做正數(shù),正數(shù)都大于零; 3.負(fù)數(shù):在正數(shù)前面加上“?”號的數(shù)叫做負(fù)數(shù),比如:20?、3.14?、0.001?、172?. 【注】①表示正數(shù)時,“ ”號可以省略,但表示負(fù)數(shù)時,“?”號一定不能省略; ②數(shù)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù). 二、有理數(shù)的概念及分類 1.有理數(shù):整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù). 2.有理數(shù)的分類: (1)有理數(shù)按性質(zhì)分類: ????????????????????正整數(shù)自然數(shù)整數(shù)零有理數(shù)負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù) (2)有理數(shù)按符號分類 ?????????????????正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)零(既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù))負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù) (3)小數(shù)的分類 【注】注意以下幾個概念的區(qū)分: 非負(fù)數(shù):正數(shù)和零;非正數(shù):負(fù)數(shù)和零; 非負(fù)整數(shù):正整數(shù)和零;非正整數(shù):負(fù)整數(shù)和零; 非負(fù)有理數(shù):正有理數(shù)和零;非正有理數(shù):負(fù)有理數(shù)和零. ????????有限小數(shù)小數(shù)無限循環(huán)小數(shù)無限小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)——不可化成分?jǐn)?shù),是無理數(shù) ——可化成分?jǐn)?shù),是有理數(shù) 2 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 三、數(shù)軸 1.?dāng)?shù)軸:數(shù)軸是一條規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線. 【注】原點、正方向和單位長度稱為數(shù)軸的三要素; ①原點:表示數(shù)0的點; ②正方向:數(shù)字從小到大排列的方向,一般規(guī)定向右為正方向; ③單位長度:人為規(guī)定的代表“1”的線段的長度. 2.?dāng)?shù)軸的畫法 (1)畫一條水平直線; (2)在這條直線上取一點作為原點; (3)一般用箭頭表示正方向; (4)選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度,用細(xì)短線畫出刻度,并將數(shù)字對應(yīng)標(biāo)在數(shù)軸下方. 【例】一個標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)軸: 【注】畫數(shù)軸的常見錯誤: ①三要素缺失:沒有原點、正方向箭頭或者單位長度刻度; ②單位長度不統(tǒng)一:相鄰兩個刻度之間間距不一樣; ③方向不統(tǒng)一:數(shù)字增大的方向不是正方向,或者數(shù)字排列混亂. 一些錯誤的數(shù)軸示例: 錯誤類型 錯誤示例 三要素缺失 單位長度不統(tǒng)一 方向不統(tǒng)一 3.?dāng)?shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系 ①任何一個有理數(shù)均可用數(shù)軸上的一個點來表示; 但數(shù)軸上的點不一定代表有理數(shù),比如?. ②數(shù)軸上兩個點表示的數(shù),右邊的總比左邊的大; ③數(shù)軸直觀地說明了,正數(shù)大于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于負(fù)數(shù). 4.?dāng)?shù)軸與數(shù)學(xué)思想 ①數(shù)形結(jié)合思想:數(shù)軸形象地反映了數(shù)和點之間的對應(yīng)關(guān)系; ②分類討論思想:數(shù)軸表現(xiàn)了有理數(shù)的一種分類方法,即分成正數(shù)、負(fù)數(shù)和零. 四、相反數(shù)&倒數(shù) 1.相反數(shù):如果兩個數(shù)只有符號不同,那么我們稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù),也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù).特別地,0的相反數(shù)是0. 【例】5?與5?互為相反數(shù);5?是5?的相反數(shù); 【注】相反數(shù)必須成對出現(xiàn),單獨一個數(shù)不能說是相反數(shù).“5?是相反數(shù)”是錯誤的. 2.相反數(shù)的性質(zhì): (1)代數(shù)性質(zhì):若a與b互為相反數(shù),則0ab??;反之,若0ab??,則a與b互為相反數(shù). (2)幾何性質(zhì):一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別位于原點兩側(cè),并且到原點的距離相等,即這兩點是關(guān)于原點對稱的. 2??1?012 02 1?01 012 2?01 123 1?01 201 101? 101? 3 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 3.倒數(shù):乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù). 【例】2與12,3?與13?,38?與83?. 4.負(fù)倒數(shù):乘積為1?的兩個有理數(shù)互為負(fù)倒數(shù). 【例】2與12?,3?與13,38?與83. 【注】①0沒有倒數(shù),也沒有負(fù)倒數(shù); ②倒數(shù)是它的本身的數(shù)1或??. 五、絕對值 1.絕對值:數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值,記作a. 2.絕對值運算:一個正數(shù)的絕對值是它本身;一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0. (0)0(0)(0)aaaaaa?????????? 3.絕對值的性質(zhì): (1)非負(fù)性:| | 0a?; (2)雙解性:若| | | |ab?,則ab?或ab??. 【注】如果若干個非負(fù)數(shù)的和為0,那么這若干個非負(fù)數(shù)都必為0. 例如,若| | | | | |abc? ? ? ?,則a??,b??,c??. (1)仔細(xì)思考以下各對量: ①勝二局與負(fù)三局; ②氣溫為3C??與氣溫升高30 C?; ③盈利5萬元與虧損5萬元; ④增加10%與減少20%. 其中具有相反意義的量有( ) A.1對 B.2對 C.3對 D.4對 (2)①我國現(xiàn)采用國際通用的公歷紀(jì)年法,如果我們把公元2017年記作 2017年,那么,處于公元前500年的春秋戰(zhàn)國時期可表示為___________. ②如果80m表示向東走80m,那么60 m?表示________________. ③A,B兩地海拔高度分別是120米,10?米,則B地比A地低________米. (3)學(xué)而思飲料公司生產(chǎn)的一種瓶裝飲料外包裝上印有“600 30(ml)?”字樣,請問“600 30(ml)?”是什么含義?質(zhì)檢局對該產(chǎn)品抽查5瓶,容量分別為603ml,611ml,589ml,573ml,627ml,問抽查產(chǎn)品的容量是否合格? 模塊二 有理數(shù)的概念及分類 例題1 模塊一 正數(shù)和負(fù)數(shù) 4 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 (1)下列說法錯誤的是( ) A.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù) B.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱整數(shù) C.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D.正有理數(shù)包括正整數(shù)和正分?jǐn)?shù) (2)把下列各數(shù)分別填在所屬分類里: 5?,0,3.14?,32,2.4?,227,327,?,5.5?,.??&,311?,3.14159,34?,2003 ①正數(shù):{ }; ②負(fù)數(shù):{ }; ③非負(fù)整數(shù):{ }; ④分?jǐn)?shù):{ }; ⑤非正有理數(shù):{ }; (3)在下表適當(dāng)?shù)目崭窭锎蛏稀啊獭碧枺?整數(shù) 分?jǐn)?shù) 正數(shù) 負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 非負(fù)數(shù) 非負(fù)整數(shù) 無理數(shù) 0 .?? ? ?? .?? ?? ?? .? ??& π 98? (1)下面圖形是數(shù)軸的是( ) A. B. C. D. (2)如圖所示,數(shù)軸的一部分被墨水污染了,被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為_______. (3)已知:點A在數(shù)軸上的位置如圖所示,點B也在數(shù)軸上,且A、B兩點之間的距離是2,則點B表示的數(shù)是______. 例題3 模塊三 數(shù)軸 例題2 123?2?01?3 122?1?0 123 2?1?012 1.3?2.6 A3?O 5 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 ab0 (4)在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù):0,4.2-,132,2-, 7,113,并用“<”連接. (1)一個點沿著數(shù)軸的正方向從原點起移動2個單位長度后,又向反方向移動6個單位長度,則這個點表示的數(shù)是__________. (2)一個小蟲在數(shù)軸上先向右爬2個單位,再向左爬6個單位,所在位置正好距離數(shù)軸原點2個單位,則小蟲的起始位置所表示的數(shù)是________. (3)數(shù)軸上的點A對應(yīng)的數(shù)是1?,一只螞蟻從A點出發(fā)沿著數(shù)軸向右以每秒3個單位長度的速度爬行至B點后,用2秒的時間吃光了B點處的蜜糖,又沿原路以原速度返回A點,共用去6秒,則螞蟻爬行的路程是幾個單位長度?B點與A點的距離是多少個單位長度?B點對應(yīng)的數(shù)是多少? (1)2017?的相反數(shù)是________,2017與________互為相反數(shù). (2)已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上表示如圖,則a、b、a?、b?的大小,正確的是( ) A.a(chǎn)bab? ? ? ? ? B.a(chǎn)bba? ? ? ? ? C.baab? ? ? ? ? D.a(chǎn)bba? ? ? ? ? (3)下列說法正確的是( ) A.一個數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù) B.?和.?? ??互為相反數(shù) C.所有的有理數(shù)都有相反數(shù) D.13和31互為相反數(shù) 例題5 模塊四 相反數(shù)&倒數(shù) 例題4 7?6?5?4?3?2?1?01234567 6 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 我們可以用字母表示數(shù),比如a、b都能代表一個數(shù),在一個數(shù)的前面添上“?”號,就得到這個數(shù)的相反數(shù). (1)5的相反數(shù)是_______;13的相反數(shù)是_______,0的相反數(shù)是_______,數(shù)a的相反數(shù)是________; (2)5?的相反數(shù)是_______,12?的相反數(shù)是________,4?的相反數(shù)是________;數(shù)a?的相反數(shù)是________; (3)( 2)??的相反數(shù)是________;( 5)??的相反數(shù)是________,數(shù)()a??的相反數(shù)是________,數(shù)()a??的相反數(shù)是_______;()ab? ? ?與________互為相反數(shù). 如果a??,化簡下列各數(shù)的符號,并說出是正數(shù)還是負(fù)數(shù) ①()a??; ②()a??; ③[ ()]a? ? ?; ④[ ()]a? ? ?; ⑤{ [ ()]}a? ? ? ?; ⑥{ { { { { [ ()]}}}}}a? ? ? ? ? ? ? ? (1)2017?的倒數(shù)是________,2017與________互為負(fù)倒數(shù). (2)一個數(shù)的倒數(shù)等于它本身,這個數(shù)是_________;一個數(shù)的倒數(shù)等于它的相反數(shù),則這個數(shù)________. (3)已知a、b為有理數(shù),在數(shù)軸上如圖所示,則( ) A.a(chǎn)b????? B.a(chǎn)b??? ?? C.ba??? ?? D.ba???? ? 例題8 例題7 例題6 1?a01b 7 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 (1)2017?的絕對值是_________,| 2017 |??的相反數(shù)是________,| 2017 |?與________互為倒數(shù). (2)①絕對值不大于3的整數(shù)有________; ②絕對值大于2而小于5的負(fù)整數(shù)是________. (3)①若m、n滿足|| ||=mn?? ? ?? ?,則mn的值等于________; ②| |||xy? ? ??,則xy?________. (4)已知|5|a?,| | 2b?,則||ab?的值是__________. (1)下列說法正確的個數(shù)( ) ①()a??表示正數(shù);②||a一定是正數(shù),||a?一定是負(fù)數(shù);③絕對值等于本身的數(shù)只有兩個,是0和1;④如果| | | |ab?,則ab?. A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 (2)若x表示有理數(shù),則||x??一定是( ) A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非正數(shù) D.非負(fù)數(shù) (3)下列說法正確的是( ) A.若a表示有理數(shù),則a?表示非正數(shù) B.和為零的兩數(shù)互為相反數(shù) C.一個數(shù)的絕對值必是正數(shù) D.若| | | |ab?,則ab? ? ? 例題10 例題9 模塊五 絕對值 8 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 (1)如果節(jié)約16噸水記作 16噸,則浪費6噸水記作__________. (2)在體育課的跳遠(yuǎn)比賽中,以4.00米為標(biāo)準(zhǔn),若小東跳出了4.22米,可記做 0.22,那么小東跳出了3.85米,記作___________. (3)把下列各數(shù)填入表示它所在的大括號: .?? ?,3,2.008,????,???,.?? ??&&,0,()? ??,3.14,||? ??. 正有理數(shù):{ } 非負(fù)整數(shù):{ } 負(fù)分?jǐn)?shù):{ } (1)下列說法正確的是( ) A.在有理數(shù)中,零的意義僅僅表示沒有 B.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)組成全體有理數(shù) C.0.5既不是整數(shù),也不是分?jǐn)?shù),因而它不是有理數(shù) D.零既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù) (2)下列說法不正確的是( ) A.絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù) B.倒數(shù)等于本身的數(shù)有2個 C.有理數(shù)可分為整數(shù)和分?jǐn)?shù) D.兩個負(fù)數(shù)比較大小,絕對值越大的數(shù)越大 演練2 演練1 復(fù)習(xí)鞏固 9 第一講 有理數(shù)的概念 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 (1)如圖,表示數(shù)軸正確的是( ) A. B. C. D. (2)已知點A,點B在數(shù)軸上,點A表示數(shù)為??,A、B兩點的距離為5,則點B表示的數(shù)是________. (3)在數(shù)軸上標(biāo)出下列各數(shù),并用“<”比較它們的大?。??,??,???,.?? ?,5. (4)已知,ab為有理數(shù),在數(shù)軸上的位置如圖所示,則a?,b?,0,1的大小關(guān)系為_______________. (1)點A在數(shù)軸上距原點為3個單位,且位于原點左側(cè),若將A向右移動4個單位,再向左移動2個單位,這時A點表示的數(shù)是________. (2)一只小蟲在數(shù)軸上先向右爬3個單位,再向左爬7個單位,正好停在??的位置,則小蟲的起始位置所表示的數(shù)是( ) A.?? B.4 C.2 D.0 (1)??與________互為相反數(shù);a???是________的相反數(shù). (2)()? ??的相反數(shù)是________;b??是________的相反數(shù). (3){ [ ()]}? ? ? ?? ?________;{ [ ( )]}? ? ? ??與________互為相反數(shù). (1)||||xy? ?? ?? ?? ? ?,求xy?________. 021-1-23-2-1120-2-112023-2-110演練6 演練5 演練4 演練3 10ba 10 初一數(shù)學(xué)目標(biāo)名校直升班 筆 記 區(qū) ——用科技推動教育進(jìn)步 (2)????的倒數(shù)是________,3.75的負(fù)倒數(shù)是___________. (3)給出下面說法:①互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等;②一個數(shù)的絕對值等于本身,這個數(shù)不是負(fù)數(shù);③若||mm?,則0m?;④若| | | |ab?,則ab?,其中正確的有______.